Introduktion till Logistic Regression

Forskare är ofta intresserade av att starta en modell för att analysera förhållandet mellan några prediktorer (dvs oberoende variabler) och respons (dvs, beroende variabel). Linjär regression används ofta när responsvariabeln är kontinuerlig. Ett antagande av linjära modeller är att de kvarvarande felen följer en normalfördelning. Detta antagande misslyckas när responsvariabeln är kategorisk, så en vanlig linjär modell är inte lämpligt. Detta nyhetsbrev presenterar en regressionsmodell på ett svar variabel som är tudelad med två kategorier. Exempel är vanliga: om en växt lever eller dör, om en undersökning svarande instämmer eller inte håller med ett uttalande, eller om en at-risk barn akademiker eller droppar ut från gymnasiet Omdömen

I vanlig linjär regression, svaret. variabel (Y) är en linjär funktion av koefficienterna (B0, B1, etc.) som motsvarar prediktorvariabler (X1, X2, etc.). En typisk modell skulle se ut:

Y = B0 + B1 * X1 + B2 * X2 + B3 * X3 + ... + E Omdömen

För en dikotom responsvariabeln, vi kunde ställa in en liknande linjär modell för att förutsäga individers kategori medlemskap om numeriska värden används för att representera de två kategorierna. Godtyckliga värden av 1 och 0 väljs för matematisk bekvämlighet. Använda det första exemplet, skulle vi ge Y = 1 om en anläggning lever och Y = 0 om en anläggning dör. Omdömen

Denna linjära modellen inte fungerar bra för ett par anledningar. Först svarsvärdena, 0 och 1, är godtyckliga, så modellering av verkliga värden för Y är inte precis av intresse. För det andra, är det verkligen sannolikheten att varje individ i befolkningen svarar med 0 eller 1 som vi är intresserade av modellering. Till exempel kan vi finna att anläggningar med en hög grad av en svampinfektion (X1) faller in i kategorin "växten lever" (Y) mindre ofta än de växter med låg nivå för infektion. Således, eftersom infektionsnivån stiger, minskar sannolikheten för en växt levande.

Således, kan vi överväga modellering P, sannolikheten, som svaret variabel. Återigen, det finns problem. Även om den allmänna minskningen av sannolikhet åtföljs av en allmänt ökad infektionsnivå, vi vet att P, liksom alla sannolikheter, kan bara falla inom gränserna för 0 och 1. Det är därför bättre att anta att förhållandet mellan X1 och P är sigmoidal (S-formad), snarare än en rak linje.

Det är emellertid möjligt att finna ett linjärt förhållande mellan X1 och en funktion av P. Även om ett antal funktioner fungerar, en av de mest användbar är logit-funktion. Det är den naturliga logaritmen av oddsen att Y är lika med 1, vilket helt enkelt är förhållandet mellan sannolikheten att Y är en dividerat med sannolikheten för att Y är 0. Förhållandet mellan logit av P och P själv är sigmoidal form . Regressionsekvationen som resulterar är:

ln [P /(1-P)] = B0 + B1 * X1 + B2 * X2 + ... Omdömen

Även den vänstra sidan av denna ekvation ser hotfull, detta sätt att uttrycka sannolikheten resulterar i den högra sidan av ekvationen är linjär och ser bekant för oss. Detta hjälper oss att förstå innebörden av regressionskoefficienterna. Koefficienterna kan lätt omvandlas så att deras tolkning vettigt. Omdömen

Den logistiska regressionsekvationen kan förlängas utöver det rör sig om en dikotoma responsvariabel de fall av beställda kategorier och polytymous kategorier (mer än två kategorier).
.